Прямая и обратная геодезические задачи

Прямая  геодезическая задача состоит в вычислении точки по координатам исходной точки, дирекционному углу и горизонтальному проложению между ними.

Например даны координаты точки 1 х₁ = +2120, 80 м, у₁= - 509,25м , s_1-2=462,80,            r_1-2=ЮВ:64⁰ 11,. Вычислить координаты точки 2.

По формулам находим:

Δх_АВ= s_АВсоs r_АВ;                     Δу_АВ= s_АВ sin r_АВ

Δх_1-2= s_1-2соs r_1-2=462,30(-0,43544)=-201,52 м;                    

Δу_1-2= s_1-2 sin r_1-2=462,800,90022=+416,62 м.                    

По формуле вычисляем координаты точки 2:

х_В= х_А+ Δх_АВ;     у_В= у_А+ Δу_АВ;    

х₂= х₁+ Δх_1-2=+2120,80+(-201,52)=+1919,28 м;

у₂= у₁+ Δу_1-2=-509,25+(+416,62)=-92,63 м.

Обратная геодезическая задача состоит в вычислении дирекционного угла и горизонтального проложения по координатам её концов. Пусть координаты точек А и В х_А, у_А и х_В, у_В известны. По катетам прямоугольного треугольника, можно вычислить дирекционный угол α_АВ по формулам:

tg α_АВ=

ctg α_АВ=

По тангенсу или котангенсу угла, пользуясь таблицами тригонометрических функций, находят градусную величину румба, а по знакам приращений координат определяют его название. Затем по румбу вычисляют дирекционный угол.

Горизонтальное проложение линии вычисляют в соответствии с формулой

s_АВ=;

или по теореме Пифагора:

s_АВ=

В таблице 1 дана схема решения обратной геодезической задачи по формулам с использованием таблиц натуральных значений тригонометрических функций.

Расхождение значений s_АВ1 и s_АВ2  допускается не более двух единиц последней значащей цифры.

Обратная геодезическая  задача имеет большое практическое значение при вычислении длин проектных линий, привязке теодолитных ходов к пунктам государственной геодезической сети, сетей сгущения и съёмочных сетей, для определения направления при отсутствии видимости с пункта на пункт.

Таблица 1.Решение обратной геодезической задачи

Обозначения величин	Порядок записей и вычислений	Значения величин
ХВ ХА	1 3	+1919,28 +2120,80
ХВ - ХА УВ УА	5 2 4	- 201,52 - 92,63 - 509,25
ХВ - ХА tg αАВ rАВ αАВ sin αАВ соs αАВ sАВ1 sАВ2 sААср	6 7 8 14 9 10 11 12 13	+416,62 - 2,06739 ЮВ:64011,2' 1150 48,8' +0,90022 - 0,43544 462,80 462,80 462,80